一类非紧环面纤维化上的加权 K-稳定性

我们研究由 Lahdili 引入的依赖于权函数 $(v, w)$ 的修正标量曲率——加权常标量曲率，其定义于某些非紧半单环面纤维化之上；此类纤维化是 Apostolov–Calderbank–Gauduchon–T{\o}nnesen-Friedman 所定义的 Calabi Ansatz 的推广。我们表明，在合理假设下，Lahdili 的加权 Futaki 不变量的自然类比可解释于与 $M$ 相关联的无界多面体 $P \subset \mathbb{R}^n$ 上。特别地，我们固定某类权函数 $\mathcal{W}$ 的 $(v, w)$，并证明若 $M$ 容许加权 cscK 度量，则 $P$ 是 K-稳定的；且给出 $\mathbb{C}^2$ 上的一些权函数例子，其加权 Futaki 不变量为零却不容许 $(v, w)$-cscK 度量。遵循 Jubert，我们引入加权 Mabuchi 能量 $\mathcal{M}_{v,w}$，并证明 $(v, w)$-cscK 度量的存在性蕴含 $\mathcal{M}_{v,w}$ 的强制性，且利用 Guan 的方法证明唯一性结果。我们证明抽象纤维 $\mathbb{C}$ 的加权 K-稳定性足以保证线丛 $L \rightarrow B$ 全空间上加权 cscK 度量的存在性（底流形 $B$ 为紧 K"ahler 基），从而将 Lahdili 在 $\mathbb{P}^1$-丛情形下的结果推广。权函数的恰当选取对应于（收缩的）K"ahler-Ricci 孤立子方程，我们给出此情形渐近几何的解释。