多线性平方函数的加权界

设 $\vec{P}=(p_1,\dotsc,p_m)$ 满足 $1<p_1,\dotsc,p_m<\infty$，$1/p_1+\dotsb+1/p_m=1/p$，且 $\vec{w}=(w_1,\dotsc,w_m)\in A_{\vec{P}}$。在本文中，我们研究了多线性平方函数 $S_{\alpha,\psi}(\vec{f})$ 依赖于孔径 $\alpha$ 的加权界。我们证明了 $$\|S_{\alpha,\psi}(\vec{f})\|_{L^p(\nu_{\vec{w}})} \leq C_{n,m,\psi,\vec{P}}~ \alpha^{mn}[\vec{w}]_{A_{\vec{P}}}^{\max(\frac{1}{2},\tfrac{p_1'}{p},\dotsc,\tfrac{p_m'}{p})} \prod_{i=1}^m \|f_i\|_{L^{p_i}(w_i)}.$$ 这一结果扩展了 Lerner 于 2014 年在线性情形下获得的结果。我们的证明基于局部平均振荡技术，该技术最初用于寻找 Calder\'on--Zygmund 算子的加权界。这种方法帮助我们在主要结果的证明中避免了使用内在平方函数。