球中 Willmore 曲面的 Weierstrass-Kenmotsu 表示

Willmore 曲面 $y:M\rightarrow S^{n+2}$ 具有一个自然调和的有向共形高斯映射 $Gr_y:M\rightarrow SO^{+}(1,n+3)/SO(1,3)\times SO(n)$，它将每点 $p\in M$ 映射到其在 $p$ 处的有向平均曲率 2-球面。一个容易的观察表明，所有 Willmore 曲面的共形高斯映射都满足一种受限幂零条件，称之为“强共形调和”。本文的目标是刻画从黎曼曲面 $M$ 到 $SO^+ (1, n + 3)/{SO^+(1, 3) \times SO(n) }$ 的那些强共形调和映射中，哪些是 $S^{n+2}$ 中某个 Willmore 曲面的共形高斯映射。结果表明，一般地，强共形调和这一条件足以关联到一个 Willmore 曲面。例外情形也将被讨论。