Gibbs-Markov 过程局部时间的弱不变性原理

本文的主题是证明由 Gibbs-Markov 映射生成的过程的局部时间的函数弱不变性原理。更确切地说，设 $\left(X,\mathcal{B},m,T,\alpha\right)$ 是一个混合的、保概率的 Gibbs-Markov 系统，并设 $\varphi\in L^{2}\left(m\right)$ 是一个均值为 $0$ 的非周期函数。令 $S_{n}=\sum_{k=0}^{n}X_{k}$ 并定义击中时间过程 $L_{n}\left(x\right)$ 为直到第 $n$ 步 $S_{k}$ 击中 $x\in\mathbb {Z}$ 的次数。归一化局部时间过程 $l_{n}\left(x\right)$ 定义为 $l_{n}\left(t\right)=\frac{L_{n}\left(\left\lfloor \sqrt{n}x\right\rfloor \right)}{\sqrt{n}},\,\, x\in\mathbb{R}$。我们证明了 $l_{n}\left(x\right)$ 依分布收敛于布朗运动的局部时间。该证明也适用于源自赋予 Gibbs 测度的有限型子移位的局部时间这一更经典的情形。