非均匀周期介质中的波包：穿过一维能带交叉的传播

我们考虑了在外电场影响下晶体中电子的模型：一维空间中势函数为周期函数 $V$ 与光滑函数 $W$ 之和的薛定谔方程。我们假设 $V$ 的周期远短于 $W$ 的变化尺度，并将这两个尺度的比值记为 $\epsilon$。我们研究了在极限 $\epsilon \downarrow 0$ 下的 $\textit{半经典波包}$ 渐近解的动力学，这些解在谱上局域于周期算子 $- \frac{1}{2} \partial_z^2 + V(z)$ 的两个 Bloch 能带色散函数的 $\textit{交叉}$ 附近。我们表明，该动力学与能带充分分离的情况在定性上有所不同：在波包入射到能带交叉处的时刻，第二个波包被“激发”，其群速度与入射波包$\textit{相反}$。随后我们证明，我们的结果与 Landau-Zener 型模型的解是一致的。