$W$-熵、超 Perelman Ricci 流与 $(K, m)$-Ricci 孤立子

本文通过多种泛函不等式以及由Witten Laplacian在配备时变度量和势的流形上生成的热半群的梯度估计，证明了$(K, \infty)$-超Perelman Ricci流的刻画。作为副产品，我们在具有$(K, \infty)$-超Perelman Ricci流的流形上推导了Hamilton型无量纲Harnack不等式。基于Witten Laplacian热方程Boltzmann-Shannon熵的一个新的二阶微分不等式，我们引入了一个新的$W$-熵量，并证明了其在满足$CD(K, \infty)$条件的完备黎曼流形上以及具有$(K, \infty)$-超Perelman Ricci流的紧流形上，对于Witten Laplacian热方程的单调性。我们的结果刻画了$(K, \infty)$-Ricci孤立子和$(K, \infty)$-Perelman Ricci流。我们还证明了$(K, m)$-超Ricci流上的一个二阶微分熵不等式，该不等式可用于刻画$(K, m)$-Ricci孤立子和$(K, m)$-Ricci流。最后，我们给出了在满足$CD(K, m)$条件的流形上，Witten Laplacian热方程的$W$-熵的概率解释。