关于常系数微分算子迭代在单极点有理函数上的Voronoi极限测度

B\o gvad 和 H"agg 证明了对于具有单极点的有理函数，其连续求导数的零点会在极点集合的Voronoi图上聚集，归一化零点计数测度收敛于该图上受支配的规范概率测度。我们将该结果从纯求导推广至任意单系数常微分算子的迭代。设 $h(z)=A(z)/B(z)$ 为化简后的有理函数，其中 $B$ 为次数为 $b\ge2$ 且具有互异零点 $S=\{z_1,\dots,z_b\}$ 的 monic 多项式，设 $P(D)=\sum_{j=0}^m c_jD^j$ 为次数为 $m\ge1$ 的 monic 常系数微分算子。消去分母后，可写作 $P(D)^n(h)=\widetilde A_n/B^{mn+1}$，从而研究分子多项式 $\widetilde A_n$ 的零点。若设 $r:=\min\{j:c_j\neq0\}$，则（在 $r>0$ 时 passing to proper part）相关的零点计数测度收敛于\n\n$$\frac{m(b-1)}{bm-r}\,\mu_S,$$\n\n其中 $\mu_S$ 为 B\o gvad--H"agg 受支配于Voronoi图 $V_S$ 的概率测度。特别地，若 $P(D)=D^m$ 时极限为概率测度；否则，$\frac{m-r}{bm-r}$ 比例的零点会在模糊收敛意义下逝向无穷远。当 $r<m$ 时，未做重缩的对数势发生发散，但显式的阶乘重缩可得在 $L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb C)$ 中的收敛，极限次调和函数，其 Riesz 测度为 $\frac{m(b-1)}{bm-r}\,\mu_S$。除该标量因子外，极限测度仅由极点配置决定；$P(D)$ 的系数仅影响极限势的加性常数。