矩阵模型平面极限的解析性

利用切比雪夫多项式结合一些简单的组合学，我们为具有单切口势 $V$ 的随机矩阵模型的解析平面极限提供了一个新公式。对于势 $V(x)=x^{2}/2-\sum_{n\ge1}a_{n}x^{n}/n$，作为所有 $a_{n}$ 的幂级数，解析平面极限的形式泰勒展开正是形式平面极限。在 $V$ 是无穷多变量 $\{a_{n}\}_{n\ge1}$ 的解析函数（在适当空间上）的情况下，平面极限也是无穷多变量的解析函数，并且我们给出了其定义域的定量版本。在枚举组合学中特别有用的是 $V$ 的分次：$V_{t}(x)=x^{2}/2-\sum_{n\ge1}a_{n}t^{n/2}x^{n}/n$ 和 $V_{t}(x)=x^{2}/2-\sum_{n\ge3}a_{n}t^{n/2 -1}x^{n}/n$。相关的平面极限 $F(t)$ 作为 $t$ 的函数，分别按边数或面数对平面图进行计数。我们指出了一种利用 \emph{wzb} 方法与奇点解析相结合来计算 $F(t)$ 系数渐近行为的方法。这一点通过围绕重要极端势 $V_{t}(x)=x^{2}/2+\log(1-\sqrt{t}x)$ 及其变体的若干计算得到了说明。这个特例对't Hooft的一个猜想给出了定量且精确的回答，该猜想指出：如果势是解析的，那么平面极限也是解析的。