多重扇的体积多项式与对偶代数

我们引入多重扇的体积多项式与相应对偶代数的理论。任何完备单纯多重扇 $\Delta$ 决定一个体积多项式 $V_\Delta$，其值是以 $\Delta$ 为基础的多重多面体的体积。该齐次多项式进一步用于构造庞加莱对偶代数 $\mathcal{A}^*(\Delta)$。我们研究 $V_\Delta$ 和 $\mathcal{A}^*(\Delta)$ 的结构与性质，并给出与其他学科的应用与联系，例如麦考利对偶、单纯流形面环的Novik--Swartz理论、闵可夫斯基关于凸多面体定理的推广、环面流形的上同调、体积计算以及线性形式幂的线性关系。特别地，我们证明了 $g$-定理的类似物对于多重多面体不成立。