可见性多项式、对偶可见性谱以及全互可见性集合的表征

互可见性集合源于分布式系统和社交网络中的可见性问题，并与几个经典数学领域相互交织。研究了各类互可见性集合的单调性质，以及这些集合在凸子图和等距子图上的限制。结果表明，对偶互可见性集合与其他类型的互可见性集合存在本质区别。证明了对于每个有限的正整数子集$Z$，存在一个图$G$，使得它拥有大小为$i$的对偶互可见性集合当且仅当$i\in Z\cup \{0\}$，而对于其他类型的互可见性，这样的集合由连续整数组成。引入了可见性多项式并推导了其性质。令人惊讶的是，每个具有非负整数系数且常数项为1的多项式都是某个图的对偶可见性多项式。给出了全互可见性集合、全互可见性数为1的图，以及那些本身不是全互可见性集合但其每个真子集都是全互可见性集合的集合的表征。在此过程中，纠正了文献中的一个早期结果。