复 Hessian 方程的粘性解

我们研究复 Hessian 方程的粘性解。在局部情形下，考虑 $\Omega$ 为 $\mathbb{C}^n$ 中的有界域，$\beta$ 为 $\mathcal{C}^n$ 中的标准 K"{a}hler 形式，且 $1\leq m\leq n$。在关于 $F, g$ 的某些适当条件下，我们证明方程 $(dd^c \varphi)^m\wedge\beta^{n-m}=F(x,\varphi)\beta^n,\ \f=g$ 在 $\pO$ 上在次解和上解存在的前提下存在唯一的粘性解。此外，如果数据是 H"{o}lder 连续的，则解也是 H"{o}lder 连续的。在全局情形下，设 $(X,\omega)$ 为紧齐次 Hermitian 流形，其中 $\omega$ 是不变 Hermitian 度量（不一定是 K"{a}hler 的）。我们证明在关于 $F$ 的某些自然条件下，方程 $(\omega+dd^c\varphi)^m\wedge\omega^{n-m}=F(x,\varphi)\omega^n$ 具有唯一的粘性解。