具有自由阿贝尔基本群的单纯复形的顶点数

我们证明了具有基本群 $\mathbb{Z}^{n}$ 的单纯复形的最小顶点数至多为 $O(n)$ 且至少为 $\Omega(n^{3/4})$。对于上界，我们使用关于 $K_{2n}$ 的正交 1-因子分解的一个结果。对于下界，我们使用一个分数阶 Sylvester-Gallai 结果。我们还证明了任何群展示 $\langle S | R\rangle \cong \mathbb{Z}^{n}$，若其关系具有形式 $g^{a}h^{b}i^{c}$（其中 $g, h, i \in S$），则至少有 $\Omega(n^{3/2})$ 个生成元。