向量不变性与 Clifford 代数中 Julia 型迭代的结构闭合

本文引入 Clifford 代数框架，用于由几何积驱动的 Julia 型动力学。研究了非线性迭代 $f(\vec{x}) = (\vec{x}\diamond \vec{n})^p \diamond \vec{n} + \vec{c}, \qquad p \ge 2$, 其中在实 $n$ 维内积空间 $V$ 中，$\vec{x}, \vec{n}, \vec{c} \in V$ 且$\vec{n}$ 为单位向量。主要结果揭示了一种此前未报告的不变性现象：尽管几何积在中间阶段生成更高阶多向量分量，但内置的降阶机制确保其完全退回到向量子空间。因此，Clifford Julia 算子在 $V$ 上闭合，迭代在任意维度中定义了一个严格定义的非线性动力学系统。该不变性通过 Clifford 积的结构分解和归纳闭合论证建立，同时在低维情形中进行显式验证并在 $\mathbb{R}^n$ 中给出一般证明。结果表明，经典 Julia 动力学可以一致地扩展到更高维的几何代数中，而不会丢失几何可解释性。该框架为 Clifford 代数中的分形型动力学开辟了新方向，提供了一种用于保持不变性的高维迭代系统的统一代数设置。