群簇与字简洁性问题

群字 $w$ 在群类 $\mathcal X$ 中是简洁的，当且仅当在群 $G\in \mathcal X$ 中，若 $w$ 只取有限多个值，则 verbal 子群 $w(G)$ 是有限的。每个字在剩余有限群中是否简洁是一个长期未决的开放问题。在本文中我们观察到，字 $w$ 在剩余有限群中的简洁性等价于其在 virtually pro-$p$ 群类中的简洁性。由此可证明：若 $q,n$ 为正整数且 $w$ 为多线性换位字，则字 $w^q$ 与 $[w^q,_{n} y]$ 在剩余有限群中是简洁的。此前这仅在 $q$ 为素数幂的情形下已知。在证明过程中，我们确立了满足律 $w^q\equiv1$ 或 $[\delta_k^q,{}_n\, y]\equiv1$ 的某些群类是簇。