幂零群中 Engel 字的强简洁性

群字 $w$ 被称为在 profinite 群类 $\mathscr C$ 中强简洁的，如果对于 $\mathscr C$ 中任意群 $G$，$w$ 在 $G$ 中取至少连续统多个值，或者 Verbal 子群 $w(G)$ 有限。有人猜想所有字在所有 profinite 群类中都是强简洁的。早前 Detomi、Klopsch 和 Shumyatsky 证明了这一猜想对多线性换位字以及若干其他特定字成立。他们还证明了每个群字在幂零 profinite 群类中都是强简洁的。在本文中，我们证明对任意 $n$，$n$-Engel 字 $[...[x,y],y],\dots y]$（其中 $y$ 重复 $n$ 次）在有限生成 profinite 群类中是强简洁的。