笼中的簇：代数几何小动物园

一个 $d^{\{n\}}$-笼 $\mathsf K$ 是 $\Bbb P^n$ 中 $n$ 组超平面的并，每组含 $d$ 个成员。来自不同组的超平面处于一般位置，从而生成 $d^n$ 个点，即所有组超平面的交点。这些点称为 $\mathsf K$ 的节点。我们研究在包含这些节点的簇 $X \subset \Bbb P^n$ 上施加独立条件的节点组合。我们证明：若由次数 $\leq d$ 的齐次多项式给出的 $X$ 包含来自这样一特殊节点集 $\mathsf A$ 的点，则它包含 $\mathsf K$ 的所有节点。这样的簇 $X$ 非常特殊：特别地，$X$ 是一个完全交。