笼中的曲线:一个代数几何动物园
代数几何
2007-05-23 v1 组合数学
摘要
本文研究包含射影平面中给定且相当特殊的有限点集 X 的平面代数曲线族。我们聚焦于 X 由两个给定基数均为 d 的有限直线族中选取的横截相交直线对所构成的情形。来自两族的所有直线的并称为一个笼,而交点 X 由 d^2 个点组成,其中每条第一族中的直线与一条第二族中的直线相交。X 中的点称为笼的节点。我们研究节点集 X 的子集 A,使得任意包含 A 的 d 次平面代数曲线 C 也必须包含 X。作为推论,我们得到了著名帕斯卡定理的几个推广,这些推广采用内接于二次曲线的多边形(而非帕斯卡定理中的六边形)。我们的结果与 Chasles 和 Bacharach 的经典定理密切相关。尽管我们的笼所产生的节点集 X 相较于 Bacharach 所研究的更一般完全交截而言相当特殊,但笼使我们可以更好地把握具有上述性质的 X 的子集 A 的组合结构。
引用
@article{arxiv.math/0508076,
title = {Curves in cages: an algebro-geometric zoo},
author = {Gabriel Katz},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0508076},
year = {2007}
}
备注
16 pages, 9 figures in the EPS format, and boxedeps.sty macro