代数曲线网的几何

一个覆盖射影簇 $X$ 的代数曲线族，如果通过 $X$ 的一般点只有有限个成员，则称为 $X$ 上的曲线网。$X$ 上的曲线网在 $X$ 的一般点邻域内诱导出局部微分几何意义上的网结构。我们研究网结构的局部微分几何如何影响 $X$ 的全局代数几何。在网结构的两个几何假设下，即两两不可积条件与生成括号条件，我们证明局部微分几何决定了 $X$ 的全局代数几何，直至一般有限代数对应。这两个几何假设满足的例子如：当 $X \subset {\bf P}^N$ 是 Picard 数为 1 的 Fano 子流形，且覆盖 $X$ 的直线族成为一个网。在此特例中，我们有更强的结果：网结构的局部微分几何在双正则等价意义下决定 $X$。作为应用，我们证明若 $X, X' \subset {\bf P}^N, \dim X' \geq 3,$ 是两个这样的 Picard 数为 1 的 Fano 流形，则任何满射态射 $f: X \to X'$ 均为同构。