含与不含黎曼假设下的Andrica猜想变体

我们在素数分布上能明确证明的与怀疑的之间差距巨大。众所周知（且合理），黎曼假设不足以证明Andrica猜想：∀n≥1，是否有√p_{n+1}−√p_n ≤ 1？但人们至少能接近到何种程度？我首先证明，若作对数修正并假设黎曼假设，则有 $${\sqrt{p_{n+1}}\over\ln p_{n+1}} -{\sqrt{p_n}\over\ln p_n} < {11\over25}; \qquad (n\geq1).$$ 进而，考虑更一般的m次根，同样在黎曼假设下，我证明 $${\sqrt[m]{p_{n+1}}} -{\sqrt[m]{p_n}} < {44\over25 \,e\, (m-2)}; \qquad (n\geq 3;\; m >2).$$ 相反，若仅限于当前能无条件证明者，则唯一显式的类Andrica结果似乎仅为下述结果的变体： $$\ln^2 p_{n+1} - \ln^2 p_n < 9; \qquad (n\geq1).$$ $$\ln^3 p_{n+1} - \ln^3 p_n < 52; \qquad (n\geq1).$$ $$\ln^4 p_{n+1} - \ln^4 p_n < 991; \qquad (n\geq1).$$ 我还将略微更新Andrica猜想被无条件验证的区域。