实 Weyl 代数上的赋值与序

\newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\rweyl}{\mathcal{A}_1(\R)} 域 $k$ 上的第一 Weyl 代数 $\mathcal{A}_1(k)$ 是具有两个生成元 $x, y$ 并满足 $[y, x] = 1$ 的 $k$-代数，最初在量子力学的发展过程中引入。在本文中，我们对剩余域为 $\mathbb{R}$ 的实 Weyl 代数 $\mathcal{A}_1(\mathbb{R})$ 上的所有赋值进行分类。然后我们利用实代数几何中 Baer-Krull 定理的非交换版本对 $\mathcal{A}_1(\mathbb{R})$ 上的所有序进行分类。作为我们研究的副产品，我们解决了非交换赋值理论中的两个开放问题。首先，我们证明并非所有剩余域为 $\R$ 的 $\mathcal{A}_1(\mathbb{R})$ 上的赋值都能扩展到由 Marshall 和 Zhang 引入的更大环 $R[y ; \delta]$（其中 $R$ 为 Puiseux 级数环）上的具有相同剩余域的赋值，并刻画了那些确实具有此种扩展的赋值。其次，我们证明对于非交换除法环上的赋值，Kaplansky 关于由伪柯西序列的极限所作的扩展是即时扩展的定理在一般情况下不成立。