奇摄动竞争扩散系统形式展开的合法性

我们考虑一个含小参数 $\varepsilon>0$ 的两物种竞争扩散系统，并讨论在尖锐界面极限 $\varepsilon\approx0$ 附近解的形式渐近展开的合法性。我们假设相应的 ODE 系统有两个稳定平衡点。正如标量 Allen--Cahn 方程那样，已知此类系统的尖锐界面运动由带驱动力的平均曲率流控制。形式展开还表明，当 $\varepsilon\rightarrow0$ 时，过渡层的剖面收敛到行波解的剖面。在本文中，我们针对一大类初值严格验证了后一猜想。证明依赖于重标度论证、超-子解方法以及抛物系统永恒解的 Liouville 型定理。粗略地说，Liouville 型定理指出任何介于两个行波之间的永恒解本身也是一个行波。Berestycki 和 Hamel 对标量 Allen--Cahn 方程建立了同样的 Liouville 型定理。鉴于其重要性，我们在一个相当一般的框架下证明 Liouville 型定理，不仅针对两物种竞争扩散系统，也针对 $m$-物种合作扩散系统（可能具有时间周期或空间周期系数）。