抽象逻辑的向上Löwenheim-Skolem-Tarski数

Galeotti、Khomskii和Väänänen最近引入了逻辑的向上Löwenheim-Skolem-Tarski数的概念，强化了经典的Hanf数概念。基数κ是逻辑L的向上Löwenheim-Skolem-Tarski数（ULST），如果它是满足以下性质的最小基数：每当M是大小至少为κ且满足L中语句φ的模型时，就存在任意大的满足φ且以M为子结构的模型。子结构要求是ULST数与Hanf数的区别所在，并赋予该概念以大基数强度。虽然ZFC定理表明每个逻辑都有Hanf数，但Galeotti、Khomskii和Väänänen证明，二阶逻辑ULST数的存在蕴含部分可扩基数的存在。我们肯定地回答了他们的猜想：二阶逻辑的ULST数是最小可扩基数。我们通过将子结构要求加强为初等子结构来定义强ULST数。我们研究了几种经典强逻辑的ULST数和强ULST数：无穷逻辑、等基数性逻辑、带有良基量词的逻辑、二阶逻辑和种类逻辑。我们证明，在某些情况下，ULST数和强ULST数由经典大基数刻画，而在另一些情况下，则由它们所引发的自然的新大基数概念刻画。我们证明，对于某些逻辑，ULST数、强ULST数和最小强紧致基数的概念是一致的，而对于其他逻辑，它们可以分离是一致的。最后，我们引入了一个自然的大基数概念，用于刻画等基数性逻辑的强紧致基数。