小基数上的紧致性：原理、后果与局限

我们讨论一些针对不可数结构、基数较小且为正则数的紧致原理，如 $\omega_n$（$2 \le n<\omega$）、$\aleph_{\omega+1}$、$\aleph_{\omega^2+1}$ 等，这些原理在基数为弱紧致（限制版）或强紧致或超紧致（不限制版）时是一致的。我们将这些原理分为逻辑原理（各种树属性）和数学原理，后者直接假设针对诸如群、图或拓扑空间等结构的紧致性（例如图的可数色度与着色紧致性、阿贝尔群的紧致性、$\Delta$-反射、Fodor型反射原理和拉多猜想）。我们关注这些原理在强制扩展中的不可破坏性，即其保护性。通过现有的保护结果，我们注意到许多传统问题，如Suslin假设、白胃猜想、凱普拉斯基猜想和巴乌马尔特公理，都是来自$\omega_2$上某些最强形式紧致性的独立问题。此外，我们注意到拉多猜想加上$2^\omega = \omega_2$与这些猜想的否定解相容（因为它们在$V=L$中为真），验证了它们在适当的Mitchell模型中成立。最后，我们评论这些紧致原理是否是良好的公理候选人。我们考虑它们的后果以及是否存在令人信服的统一（如马丁极限或拉多猜想）。此部分是对Foreman《通用大基数：新数学公理？》（1998）和Feferman等人《数学是否需要新公理？》（2000）文章的谦逊跟进。