后继基数上的紧致性 versus 巨大性

若 $\kappa$ 为正则基数且 $2^{<\kappa}\leq\kappa^+$，则 $\kappa^+$ 上存在弱预饱和理想蕴含 $\square^*_\kappa$。这部分回答了 Foreman 与 Magidor 关于 $\omega_2$ 上可逼近理想的一个问题。作为推论，我们证明：若 $\omega_2$ 上存在预饱和理想 $I$ 使得 $\mathcal{P}(\omega_2)/I$ 为半恰当（semiproper），则 CH 成立。我们还展示了通过常规力迫方法在后继基数上同时获得树性质与饱和理想的某些障碍。