良好尺度与平方的非紧致性

Cummings、Foreman 和 Magidor 研究了平方原理在奇数基数上的紧致性。第一作者证明了如果 $\kappa$ 是不可数系数下的奇数强极限，则 $\kappa$ 上所有尺度都是良好的，$\square^*_\delta$ 对所有 $\delta<\kappa$ 都成立，则$\square_\kappa^*$ 成立。在本文中，我们将呈现一个在 $\aleph_\omega$ 上呈现强烈对比结果的论文。我们构造了一个模型，其中 $\square_{\aleph_n}$ 对所有 $n<\omega$ 成立，$\aleph_\omega$ 上所有尺度都是良好的，但$\square_{\aleph_\omega}^*$ 失败且 $[H(\aleph_{\omega+1})]^{\aleph_1}$ 的某些弱形式内部可达性失败。这需要对 Namba 强制的一个版本的支配性和逼近性进行深入分析。我们也证明了一些支持性结果。