平稳逻辑的下向 Löwenheim-Skolem 强定理，II——反射至连续统
逻辑
2020-09-09 v1
摘要
延续前一篇文章，我们研究平稳逻辑及其变体的下向 Löwenheim-Skolem 强定理（SDLS）。已有结果表明，带弱二阶参数、下至 <ℵ_2 的普通平稳逻辑的 SDLS 等价于 CH 与 Cox 的内部团性对角反射原理的合取。我们证明，不带弱二阶参数、下至 <2^{ℵ_0} 的平稳逻辑的 SDLS 蕴含连续统的基数为 ℵ_2。相反，在连续统基数 >ℵ_2 下，平稳逻辑的一种内部解释可满足下至 <2^{ℵ_0} 的 SDLS。该 SDLS 被证明等价于下至基数 <2^{ℵ_0} 的内部平稳集的对角反射原理的内部版本。我们还考虑了平稳逻辑的 P_κλ 版本，并证明该逻辑在内部解释中下至 <2^{ℵ_0} 反射的 SDLS 在 ZFC + “存在超紧基数”的一致性假设下是一致的，且该 SDLS 蕴含连续统（至少）是弱 Mahlo 的。这三个以 SDLS 表述的“公理”是被称为 Laver-泛型超紧性的泛型超紧性加强的三个实例的推论。这三种实例中每一种的 Laver-泛型超紧基数的存在性也分别将连续统的基数固定为 ℵ_1、ℵ_2 或非常大。我们还证明，这些泛型大基数之一的存在性蕴含相应力迫公理的“++”版本。
引用
@article{arxiv.2009.03348,
title = {Strong downward L\"owenheim-Skolem theorems for stationary logics, II -- reflection down to the continuum},
author = {Sakaé Fuchino and André Ottenbreit Maschio Rodrigues and Hiroshi Sakai},
journal= {arXiv preprint arXiv:2009.03348},
year = {2020}
}