圈数的上尾界

本文考察 $G_{n,p}$ 中圈计数的上尾界。对固定图 $H$ 定义 $\xi_H= \xi_H^{n,p}$ 为 $G_{n,p}$ 中 $H$ 的副本数。理解 $\xi_H$ 分布的上尾是一个被大量研究且出奇困难的问题，例如估计 \begin{equation*} \mathbb{P}(\xi_H > 2 \mathbb{E}\xi_H). \end{equation*} 针对一般 $H$ 和 $p$ 的最已知结果归功于 Janson、Oleszkiewicz 和 Ruci\'nski，他们在 2004 年证明了 \begin{align}\label{a:JOR} \exp[-O_{H, \eta}(M_H(n,p) \ln(1/p))]&<\mathbb{P}(\xi_H > (1+\eta)\mathbb{E} \xi_H)\\&<\exp[-\Omega_{H, \eta}(M_{H}(n,p))].\nonumber \end{align} 因此他们确定了上尾，直至指数中 $\ln(1/p)$ 的因子。此后有大量工作致力于改进针对特定 $H$ 和 $p$ 的这些界。我们填补了圈上 $\ln(1/p)$ 的鸿沟，直至指数中的常数。此处 JOR 给出的下界对于 $l$-圈在 $p> \frac{\ln^{1/(l-2)}n}{n}$ 时为真。