$\mathbb S^1$ 值 Sobolev 映射松弛面积的上界及其可数次可加内部包络

给定有界开连通 Lipschitz 集 $\Omega \subset \mathbb R^2$，我们证明映射 $u\in W^{1,1}(\Omega;\mathbb S^1)$ 的松弛笛卡尔面积泛函 $\overline{\mathcal A}(u,\Omega)$ 是有限的，并为其值提供一个有用的上界。利用该估计，我们证明了针对 $W^{1,1}(\Omega;\mathbb S^1)$ 改编的 De Giorgi 猜想 [17] 的修正版本，该猜想关于小于 or 等于 $\overline{\mathcal A}(u,\cdot)$ 的最大可数次可加集函数 $\overline {\overline{\mathcal A}}(u, \cdot)$。