有界 Hessian 向量值函数空间中泛函的松弛

本文证明了若 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 是开的有界 Lipschitz 集，且 $f: \Omega \times \mathbb{R}^{d \times N \times N} \rightarrow [0, \infty)$ 是连续函数，对所有 $x \in \Omega$ 有 $f(x, \cdot)$ 为线性增长，则对于 $W^{2,1}$ 中的有界序列，能量 $$F[u] = \int_{\Omega} f(x, \nabla^2u(x)) dx$$ 在有界 Hessian 函数空间中的松弛泛函由 $${\cal F}[u] = \int_\Omega {\cal Q}_2f(x, \nabla^2u) dx + \int_\Omega ({\cal Q}_2f)^{\infty}\bigg(x, \frac{d D_s(\nabla u)}{d |D_s(\nabla u)|} \bigg) d |D_s(\nabla u) |.$$ 给出。该结果利用爆破技术获得，并建立了 Ambrosio 与 Dal Maso 以及 Fonseca 与 M"uller 的 $BV$ 松弛定理的二阶版本。使用爆破方法旨在便利未来对包含低阶项的被积函数以及二阶结构变形领域的应用研究。