关于在 BV 空间严格收敛下线性增长的多凸函数松弛

我们考虑在函数变差空间中的严格收敛情形下，对具有线性增长的多凸函数的松弛问题。这些函数是函数 $F(u,\Omega):=\int_\Omega f(\nabla u)dx$ 的松弛形式，其中 $u:\Omega\rightarrow \mathbb R^m$，且 $f$ 为多凸函数。与标准 $L^1$ 收敛情形下的松弛不同，在二维情形下，我们证明了对于每个 $u\in BV(\Omega;\mathbb R^m)$（$m\geq1$），映射 $A\mapsto F(u,A)$ 对开集 $A$ 来说，是布尔测度的限制。这一结论在维数大于等于 3 的情形下不再成立。通过研究一类特殊函数的积分表示公式，我们还展示了笛卡尔映射的存在，其在 $L^1$ 收敛下的松弛面积功能严格大于其图形的面积。