实解析映射的不稳定性问题

众所周知，$C^\infty$ 类型的 proper $C^\infty$ 映射的 $C^\infty$ 稳定性由其微小 $C^\infty$ 稳定性所刻画。在本文中，我们研究了实分析情境下的对应问题。具体而言，我们证明 $C^\omega$ 类型的微小稳定性并不蕴含 $C^\omega$ 稳定性；例如，一个 Whitney 伞 $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ 便不是 $C^\omega$ 稳定的。证明的主要工具是一种相对版本的 Whitney 分析逼近定理，这种定理通过利用 H. Cartan 的定理 A 和 B 来实现。