关于稳定映射密度的旧结果与新结果

稳定映射的密度是本文的共同主线。我们回顾 Whitney 对可微映射奇点的贡献以及 Thom-Mather 关于 $C^{\infty}$ 与 $C^{0}$-稳定性的理论。为证明关于真稳定映射与拓扑稳定映射 $f:N^{n}\to P^{p}$ 密度的定理 A 与定理 B，给出了无穷小与代数方法。定理 A 指出：真稳定映射集在所有从 $N$ 到 $P$ 的真映射集中稠密，当且仅当对 $(n,p)$ 处于\emph{佳维数}中；而定理 B 表明拓扑稳定映射的密度对任意对 $(n,p)$ 成立。简要回顾了 du Plessis 与 Wall 关于真光滑映射在何范围内 $C^{1}$-稳定的结果。Thom-Mather 映射是一个拓扑稳定映射 $f:N \to P$，其关联的 $k$-射流映射 $j^{k}f:N \to P$ 横截于 $J^{k}(N,P)$ 中的 Thom-Mather 分层。我们详细描述了佳维数边界上各对 $(n,p)$ 的 Thom-Mather 映射。关于稳定映射密度的首要开放问题是确定 Lipschitz 稳定映射稠密的对 $(n,p)$。我们讨论 Nguyen、Ruas 与 Trivedi 在此方向上的近期结果，并对佳维数边界上 Lipschitz 稳定映射的密度提出猜想。在最后一节，回顾了 Damon 关于映射芽的 $\mathcal{A}$-分类与稳定展开式 $f$ 的判别式 $V=\Delta(F)$ 的截面之 $\mathcal{K}_{V}$ 分类的相关结果，并讨论开放问题。