$Z/2Z$-分级代数上 $sl_{m|n}$ 的泛中心扩张

我们研究了李超代数 $sl_{m|n}(A)$ 的中心扩张，其中 $A$ 是交换环 $K$ 上的 $Z/2Z$-分级超代数。Steinberg 李超代数 $st_{m|n}(A)$ 起着至关重要的作用。我们证明了当 $m+n\geq 3$ 时，$st_{m|n}(A)$ 是 $sl_{m|n}(A)$ 的中心扩张。我们利用循环同调的 $Z/2Z$-分级版本证明了该扩张的中心作为 $K$-模同构于 $HC_1(A)$。对于 $m+n\geq 5$，我们证明了 $st_{m|n}(A)$ 是 $sl_{m|n}(A)$ 的泛中心扩张。对于 $m+n=3,4$，我们证明了 $st_{2|1}(A)$ 和 $st_{3|1}(A)$ 均是中心闭的。我们显式构造了 $st_{2|2}(A)$ 的泛中心扩张。