类型 $\mathrm{II}^{}_{1}$ 因子中类型 $\mathrm{I}$ von Neumann 代数的正交补中的酉算子

众所周知，对于 i.c.c. 群 $G$ 及其子群 $H$，等式 $$L^{}_{G}\ominus L^{}_{H}=\bar{\mathrm{span}\{L_{g}:g\in G-H\}^{\mathrm{SOT}}}$$ 成立，其中 $L^{}_{G}$ 和 $L^{}_{H}$ 为相应的群 von Neumann 代数，$L^{}_{G}\ominus L^{}_{H}$ 是集合 $\{x\in L^{}_{G}:E^{}_{L^{}_{H}}(x)=0\}$，而 $E^{}_{L^{}_{H}}$ 是从 $L^{}_{G}$ 到 $L^{}_{H}$ 定义的条件期望。受此启发，自然要问对于类型 $\mbox{II}^{}_{1}$ 因子 $N$ 及其 von Neumann 子代数 $A$，等式 $$N\ominus A=\bar{\mathrm{span}\{u: u\mbox{is unitary in}N\ominus A\}^{\mathrm{SOT}}}$$ 是否成立。本文针对 $A$ 为类型 I von Neumann 代数的情形，对该问题给出了肯定回答。