Thurston 几何中 Bonnet 问题的唯一性

我们研究了 Bianchi-Cartan-Vrânceanu 空间和 $\mathrm{Sol}_3$ 中的 Bonnet 问题。我们的主要贡献是建立了 Bonnet 伴面的唯一性，这使我们能够回答一个等距浸入何时可以通过保持主曲率的等距浸入族连续形变的问题——这个问题最初由 Chern 在 $\mathbb{R}^3$ 中提出。对于 Bianchi-Cartan-Vrânceanu 空间，我们通过研究 Gálvez、Martínez 和 Mira 所得结果的唯一性，完成了 Bonnet 对的局部分类，并给出了此前未被考虑的 Bonnet 伴面的新例子。特别地，我们证明了上述连续形变仅存在于乘积空间 $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 中的极小曲面，否则仅对具有常主曲率的曲面存在。在 $\mathrm{Sol}_3$ 的情形中，我们通过一个由两个微分方程组成的系统刻画了 Bonnet 伴面，解决了 Gálvez 等人提出的问题。我们得出结论：$\mathrm{Sol}_3$ 中仅具有常左不变 Gauss 映射的曲面才 admits 保持主曲率的连续等距形变。