Ising 感知器的单调性 Replica 对称鞍点

我们研究具有高斯无序性和边际 $\kappa\ge 0$ 的 Ising 感知器的单调性鞍点方程。我们证明对于每个 $\kappa\ge 0$，都存在一个临界容量 $\alpha_c(\kappa)=\frac{2}{\pi\,\mathbb E[(\kappa-Z)_+^2]}$，其中 $Z$ 为标准正态分布，$(x)_+=\max\{x,0\}$，使得当 $\alpha\in(0,\alpha_c(\kappa))$ 时，鞍点方程有唯一解，当 $\alpha\ge \alpha_c(\kappa)$ 时，鞍点方程无解。当 $\alpha\uparrow \alpha_c(\kappa)$ 且 $\kappa>0$ 时，此解处的单调性自由能发散至 $-\infty$。在零边际情形 $\kappa=0$ 时，Ding 和 Sun 获得了一个条件单调性结果，其中一部分已通过数值验证。我们的论证给出一个在没有计算机辅助下完成的完全解析证明。我们使用 GPT-5 来帮助开发中间论证步骤并进行自信检查计算。