对称感知机、数划分与格

带参数 $\kappa : \mathbb{R}_{\geq1} \to [0,1]$ 的对称二值感知机（$\mathrm{SBP}_{\kappa}$）问题是一个平均情况搜索问题，定义如下：给定一个随机高斯矩阵 $\mathbf{A} \sim \mathcal{N}(0,1)^{n \times m}$ 作为输入，其中 $m \geq n$，输出一个向量 $\mathbf{x} \in \{-1,1\}^m$ 使得 $$|| \mathbf{A} \mathbf{x} ||_{\infty} \leq \kappa(m/n) \cdot \sqrt{m}~.$$ 数划分问题（$\mathrm{NPP}_{\kappa}$）对应于设定 $n=1$ 的特例。有大量证据表明这两个问题都存在巨大的计算-统计间隙。在这项工作中，在假设格上标准近似最短向量问题的最坏情况困难性的前提下，我们展示了这些问题的（近乎）紧的平均情况困难性。对于 $\mathrm{SBP}$，当 $n$ 较大时，高效算法所能达到的最佳结果是 $\kappa(x) = \Theta(1/\sqrt{x})$（Bansal 和 Spencer, Random Structures and Algorithms 2020），这与统计界限相差甚远。该问题在理论计算机科学（TCS）和统计学界得到了广泛研究，Gamarnik、Kizildag、Perkins 和 Xu（FOCS 2022）猜想 Bansal-Spencer 的结果是紧的：即 $\kappa(x) = \widetilde{\Theta}(1/\sqrt{x})$ 是计算高效算法所能达到的最优值。在假设格上近似最短向量问题的最坏情况困难性的前提下，我们证明了他们的猜想。对于 $\mathrm{NPP}$，Karmarkar 和 Karp 的经典差分算法达到了 $\kappa(m) = 2^{-O(\log^2 m)}~.$ 我们证明了 Karmarkar-Karp 算法是近乎紧的：即再次在假设格上近似最短向量问题到次指数因子内的最坏情况次指数困难性前提下，不存在多项式时间算法能达到 $\kappa(m) = 2^{-\Omega(\log^3 m)}$。