对称感知机的临界窗口

我们研究对称二值感知机（或等价地，组合偏差）的临界窗口。考虑寻找满足 $\|A\sigma\|_\infty \le K$ 的二值向量 $\sigma$ 的问题，其中 $A$ 是一个 $\alpha n \times n$ 且元素为独立同分布高斯随机变量的矩阵。对于固定的 $K$，在何种密度 $\alpha$ 下该约束满足问题（CSP）可满足？Perkins 与 Xu，以及 Abbe、Li 与 Sly 最近确立了尖锐阈值，在一阶意义上回答了该问题。即对每个 $K$ 存在显式的临界密度 $\alpha_c$，使得对任意固定的 $\epsilon > 0$，以高概率该 CSP 在 $\alpha n < (\alpha_c - \epsilon ) n$ 时可满足，而在 $\alpha n > (\alpha_c + \epsilon) n$ 时不可满足。这对应于临界窗口大小为 $o(n)$ 的界。我们显著 sharpen 了这些结果，并给出了指数尾界。我们的主要结果是，或许令人惊讶地，临界窗口实际上至多为 $O(\log n)$。更精确地，以高概率该 CSP 在 $\alpha n < \alpha_c n -O(\log n)$ 时可满足，而在任意 $\alpha n > \alpha_c n + \omega(1)$ 时不可满足。这意味着对称感知机具有近乎“最尖锐可能的相变”，将其加入少数已被严格证明临界窗口宽度近乎常数的 CSP 之列。