平均情形的矩阵差异：可满足性界

给定一个 $d \times d$ 对称矩阵序列 $\{\mathbf{W}_i\}_{i=1}^n$ 和一个裕度 $\Delta > 0$，我们研究是否存在符号 $(\epsilon_1, \dots, \epsilon_n) \in \{\pm 1\}^n$ 使得带符号和的算子范数满足 $\|\sum_{i=1}^n \epsilon_i \mathbf{W}_i\|_{\rm op} \leq \Delta$。Kunisky 和 Zhang (2023) 最近引入了该问题的一个随机版本，其中矩阵 $\{\mathbf{W}_i\}_{i=1}^n$ 从高斯正交系综中抽取。该模型可被视为著名的 Matrix Spencer 猜想的随机变体，以及统计物理学中对称二元感知器的矩阵值类比。本文中，我们在 $n, d \to \infty$ 且 $n / d^2 \to \tau > 0$ 的条件下建立了该问题的一个可满足性相变。首先，我们证明裕度为 $\Delta=\kappa \sqrt{n}$ 的解的期望数量在临界 $\tau_1(\kappa)$ 处有一个尖锐阈值：当 $\tau < \tau_1(\kappa)$ 时，问题通常不可满足，而当 $\tau > \tau_1(\kappa)$ 时，平均解数量呈指数级增长。其次，结合二阶矩方法与 Altschuler (2023) 关于感知器类型问题中裕度集中的最新结果，我们识别出第二个阈值 $\tau_2(\kappa)$，使得当 $\tau>\tau_2(\kappa)$ 时，问题以高概率存在解。特别地，我们证明一个由 $n = \Theta(d^2)$ 个高斯随机矩阵组成的系统可以被平衡，使得所得矩阵的谱相对于半圆律在宏观上收缩。最后，在一个技术性假设下，我们表明存在 $\tau,\kappa$ 的值使得解的数量具有大方差，这意味着二阶矩方法的失效。我们的证明依赖于在谱范数约束下建立相关高斯矩阵的集中性和大偏差性质。