负球面感知机的算法纯态

我们考虑具有高斯无序的球面感知机。这是球面上半径为 $\sqrt{N}$ 的点 $\sigma \in \mathbb{R}^N$ 的集合 $S$，满足对所有 $1 \le a \le M$ 有 $\langle g_a , \sigma \rangle \ge \kappa\sqrt{N}\,$，其中 $(g_a)_{a=1}^M$ 是独立标准高斯向量且 $\kappa \in \mathbb{R}$ 固定。在渐近 regime $N \to \infty$、$M/N \to \alpha$ 下，$S$ 的各种特征（如其曲面测度以及其非空的最大 $M$）已在统计物理中被启发式地计算。$\kappa<0$ 的情形尤为引人关注，因为据推测 $S$ 在可满足性阈值 $\alpha_{\text{SAT}}(\kappa)$ 附近展现出称为“完全副本对称破缺”（FRSB）的层次树状几何结构，其特性由类似于 Sherrington-Kirkpatrick 模型中出现的 Parisi 变分原理所刻画。在本文中，我们设计了一种高效算法，该算法在给定 Parisi 变分原理解的预言机访问权限下，利用这一推测的 $\kappa<0$ 时的 FRSB 结构，输出一个向量 $\hat{\sigma}$ 满足对所有 $1\le a \le M$ 有 $\langle g_a , \hat{\sigma}\rangle \ge \kappa \sqrt{N}$，并位于非平凡半径 $\sqrt{\bar{q} N}$ 的球面上，其中 $\bar{q} \in (0,1)$ 是相关 Parisi 测度支撑的右端点。我们期望 $\hat{\sigma}$ 近似为球面感知机一个纯态的重心。此外我们期望当 $\alpha \to \alpha_{\text{SAT}}(\kappa)$ 时 $\bar{q} \to 1$，从而在临界附近有 $\big\langle g_a,\hat{\sigma}/|\hat{\sigma}|\big\rangle \geq (\kappa-o(1))\sqrt{N}$。