Ising 感知机的容量下界

我们考虑具有高斯无序的 Ising 感知机，它等价于离散立方体 $\{-1,+1\}^N$ 与 $M$ 个随机半空间的交集。感知机的容量为最大整数 $M_N$ 对应的 $\alpha_N \equiv M_N/N$，使得该交集非空。Krauth 和 M\'ezard（1989）猜想（随机）比值 $\alpha_N$ 依概率收敛到显式常数 $\alpha_\star \doteq 0.83$。Kim 和 Roche（1998）证明了存在正常数 $\gamma$ 使得以高概率有 $\gamma \le \alpha_N \le 1-\gamma$；亦见 Talagrand（1999）。在本文中，我们证明在显式单变量函数 $S(\lambda)$ 于 $\lambda=0$ 处取最大值这一条件下，Krauth--M\'ezard 猜想的 $\alpha_\star$ 以正概率为下界。我们的证明是将二阶矩方法应用于由所谓的 TAP（Thouless、Anderson 和 Palmer，1977）或 AMP（近似消息传递）迭代所选取的感知机构型的一个切片，其标度极限已由 Bayati 和 Montanari（2011）以及 Bolthausen（2012）刻画。为验证关于 $S(\lambda)$ 的条件，我们概述了一种方法，在当前版本中使用（非严格的）数值积分包实现。在本文的未来版本中，我们打算通过实现严格的数值方法来完成验证。