用于重构受噪声污染的非线性加密信号的自旋玻璃模型

信号 ${\bf s}\in\mathbb{R^N}$ 的加密是一种随机映射 ${\bf s}\mapsto \textbf{y}=(y_1,\ldots,y_M)^T\in \mathbb{R}^M$，其可被加性噪声污染。给定加密冗余参数（ERP）$\mu=M/N\ge 1$、信号强度参数 $R=\sqrt{\sum_i s_i^2/N}$ 以及（“裸”）噪声信号比（NSR）$\gamma\ge 0$，我们考虑通过对某类随机高斯映射使用最小二乘方案，从其被污染的像中重构 ${\bf s}$ 的问题。该问题等价于在具有平方高斯分布随机势的某类球自旋玻璃模型中寻找最小能量构型。我们利用 Parisi 副本对称破缺方案来评估当 $N\to \infty$ 时原始信号与其恢复像（称为“估计量”）之间的平均重叠 $p_{\infty}\in [0,1]$，其作为信号重构质量的度量。我们显式分析了随机映射的线性-二次族的一般情况，并讨论了完整的 $p_{\infty} (\gamma)$ 曲线。当非线性超过某阈值但冗余尚不太大时，副本对称解在某些 NSR 区间内必然破缺。我们表明，具有非零线性分量的加密允许对任意 $\mu>1$ 和任意 $\gamma<\infty$ 实现 $p_{\infty}>0$ 的重构，且当 $\gamma\to \infty$ 时 $p_{\infty}\sim \gamma^{-1/2}$。相反，对于纯二次非线性情况，对任意 ERP $\mu>1$ 存在阈值 NSR 值 $\gamma_c(\mu)$，使得当 $\gamma>\gamma_c(\mu)$ 时 $p_{\infty}=0$，使重构不可能。阈值附近的行为由 $p_{\infty}\sim (\gamma_c-\gamma)^{3/4}$ 给出，并由副本对称破缺机制控制。