三维流形中浸入球面的唯一性

设 $\mathcal{A}$ 为三维流形 $M$ 中一类浸入曲面，并假设 $\mathcal{A}$ 在每个切平面上由椭圆偏微分方程建模。本文中我们在仅温和假设存在候选曲面传递族 $\mathcal{S}\subset \mathcal{A}$ 的条件下，解决了类 $\mathcal{A}$ 的所谓 Hopf 唯一性问题。具体而言，我们证明类 $\mathcal{A}$ 中任何亏格为零的紧致浸入曲面都是候选球面。该定理统一并推广了许多不同背景下的先前唯一性结果。作为一个应用，我们肯定了 1956 年 A.D. Alexandrov 关于 $\mathbb{R}^3$ 中具有规定曲率的浸入球面唯一性的猜想。