随机 Minkowski 和的并集与网络脆弱性分析

设 $\mathcal{C}=\{C_1,\ldots,C_n\}$ 为一组 $n$ 个两两不相交且具有常数描述复杂度的凸集，并设 $\pi$ 为定义在非负实数上的概率密度函数（简称 pdf）。对于每个 $i$，令 $K_i$ 为 $C_i$ 与半径为 $r_i$ 的圆盘的 Minkowski 和，其中每个 $r_i$ 是独立地从由 $\pi$ 确定的分布中抽取的随机非负数。我们证明，$K_1, \ldots, K_n$ 并集的期望复杂度为 $O(n^{1+\varepsilon})$，其中 $\varepsilon > 0$ 为任意值；此处比例常数依赖于 $\varepsilon$ 和 $\mathcal{C}$ 中集合的描述复杂度，但不依赖于 $\pi$。如果每个 $C_i$ 是至多有 $s$ 个顶点的凸多边形，则我们证明并集的期望复杂度为 $O(s^2n\log n)$。我们的界在更强的模型中依然成立：在该模型中，给定一个任意的扩张半径多重集 $R=\{r_1,\ldots,r_n\}$，每个均为非负实数。我们通过随机排列将它们分配给 $\mathcal{C}$ 的成员，其中所有排列被选中的概率均等；此时的期望是相对于这些排列而言的。我们还展示了我们的结果在分析网络遭受物理攻击的脆弱性问题中的应用。