混合隶属度估计的精确下界

考虑一个具有 $n$ 个节点和 $K$ 个可感知社区的无向网络，其中某些节点可能具有混合隶属度。我们假设对于每个节点 $1 \leq i \leq n$，在 $\{1, 2, \ldots, K\}$ 上定义了一个概率质量函数 $\pi_i$，使得 \pi_i(k) = \mbox{节点 $i$ 在社区 $k$ 上的权重}, \qquad 1 \leq k \leq K. 目标是估计 $\{\pi_i, 1 \leq i \leq n\}$（即隶属度估计）。我们使用度修正混合隶属度 (DCMM) 模型 \cite{Mixed-SCORE} 对网络进行建模。由于对于许多自然网络，度具有近似的幂律尾部，我们在模型中允许严重的度异质性。对于任何隶属度估计 $\{\hat{\pi}_i, 1 \leq i \leq n\}$，由于每个 $\pi_i$ 是一个概率质量函数，用平均 $\ell^1$-范数来衡量误差是很自然的 $$\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n \| \hat{\pi}_i - \pi_i\|_1.$$ 我们还考虑了 $\ell^1$-损失的一个变体，其中每个 $\|\hat{\pi}_i - \pi_i\|_1$ 由 DCMM 中的度参数 $\theta_i$（将予介绍）重新加权。我们给出了一个精确的下界。我们还表明，在广泛的情况下该下界是可达的。更多这方面的讨论将在我们即将发表的手稿中继续。这些结果与社区检测的结果非常不同。对于社区检测，重点是所有 $\pi_i$ 退化的特殊情况；目标是聚类，因此汉明距离是损失函数的自然选择，且速率可以呈指数级快。这里的设置更广泛也更困难：使用 $\ell^1$-损失更为自然，且速率仅呈多项式级快。