随机游动的凸包：面的期望数目与面概率

考虑从 $S_0=0$ 开始的偏和序列 $S_i= \xi_1+\dots+\xi_i$, $1\leq i\leq n$，其增量 $\xi_1,\dots,\xi_n$ 是 $\mathbb R^d$ ($d\leq n$) 中的随机向量。我们关注凸包 $C_n:=\mathrm{Conv}(S_0,S_1,\dots,S_n)$ 的性质。假设元组 $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ 是可交换的且满足某一般位置条件，我们证明 $C_n$ 的 $k$ 维面的期望数目由公式 $$\mathbb E [f_k(C_n)] = \frac{2\cdot k!}{n!} \sum_{l=0}^{\infty}\genfrac{[}{]}{0pt}{}{n+1}{d-2l} \genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{d-2l}{k+1},$$ 给出，对所有 $0\leq k \leq d-1$ 成立，其中 $\genfrac{[}{]}{0pt}{}{n}{m}$ 和 $\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n}{m}$ 分别是一类和第二类 Stirling 数。进一步，我们显式计算了对于给定的指标 $0\leq i_1<\dots <i_{k+1}\leq n$，点 $S_{i_1},\dots,S_{i_{k+1}}$ 构成 $\mathrm{Conv}(S_0,S_1,\dots,S_n)$ 的一个 $k$ 维面的概率。这在两种不同情形下完成：具有对称可交换增量的随机游动，以及具有可交换增量的随机桥。这些结果推广了 E. Sparre Andersen 提出的关于最大值位置的一维离散 arcsine 律。我们所有的公式都是与分布无关的，即不依赖于增量 $\xi_k$ 的分布。证明中的主要成分是计算原点被若干个随机游动和随机桥的联合凸包吸收的概率，这些游动和桥的增量关于有限多个 $A_{n-1}$ 和 $B_n$ 型反射群直积的作用不变。该概率进而与处于一般位置的线性子空间所交的乘积型反射群的 Weyl 腔数目相关。