单模 Billingsley 与 Frostman 引理

单模 Minkowski 维数与 Hausdorff 维数的概念在 [arXiv:1807.02980] 中为单模随机离散度量空间所定义。本文关注这些概念与底层空间多项式增长率之间的联系。研究表明，界定维数与在底层离散空间上寻找合适的等变权函数（即测度）密切相关。主要结果是质量分布原理、Billingsley 引理和 Frostman 引理的单模版本，它们允许人们由合适等变权函数的增长率导出单模 Hausdorff 维数的上界。这些结果使得人们能在点过程、单模随机图和自相似性理论的大量例子中计算或界定两类单模维数。还给出了其他具有独立意义的进一步结果，如单模一端树的极大流最小割定理版本，以及所有单模离散空间的弱形式逐点遍历定理。