平面域的穷竭一致化

我们研究通过用有限连通子域逼近来寻找到圆域的共形映射的方法。每个域 $D \subset \hat{C}$ 都容许穷竭，即并起来为 $D$ 的有限连通子域 $D_j$ 的递增序列。由Koebe定理，每个 $D_j$ 容许一个从 $D_j$ 到圆域 $f_{D_j}(D_j)$ 的共形映射 $f_{D_j}$。假设 $f_{D_j} \to f$，我们的目标是确定 $f(D)$ 是否也是圆域。我们给出一个可数连通的 $D$ 及其穷竭 $(D_j)$，使得 $(f_{D_j})$ 有一个极限，其像不是圆域；并给出一个域 $\Omega$ 及其穷竭 $(\Omega_j)$，使得 $(f_{\Omega_j})$ 有一个极限，其像具有不可数多个非点的补分量。另一方面，我们证明可数连通 $D$ 的任意穷竭 $(D_j)$ 都容许一个加细，使得相应极限映射的像是一个圆域。我们的结果推广了He-Schramm关于可数连通域一致化的定理，并给出了一个新的证明。