圆域的穷竭

Koebe猜想断言黎曼球上的每个域都共形等价于一个圆域。我们证明每个满足Koebe猜想的域$\Omega$允许一个穷竭，即由有限连通域进行的内部逼近序列，使得关联到有限连通圆域的共形映射收敛于从$\Omega$到圆域的共形映射$f$。因此，若Koebe猜想为真，则可利用域的内部逼近来证明。证明的主要成分是给定圆域$\Omega$的拟圆穷竭的构造。在此类穷竭的情形下，若$\partial \Omega$面积为零，我们证明$f$是一个莫比乌斯变换。本文建立了一系列工具，包括平面拓扑、Voronoi胞腔、(拟)共形映射理论中的经典与现代方法、Schramm的跨边界模量以及Schottky群的动力学。