Abel微分方程零解循环性的统一上界

给定两个多项式 $P,q$，我们考虑如下问题：“假设序列不恒为零，第一个非零矩 $\tilde{m}_k=\int_a^b P^k q$ 的指标最大能多大？”该问题的答案 $K$ 称为矩 Bautin 指数，我们提供了第一个一般上界：$K\leqslant 2+\mathrm{deg} q+3(\mathrm{deg} P-1)^2$。证明基于线性常微分方程的定性分析，应用于某些代数函数的柯西型积分。矩 Bautin 指数在多项式 Abel 方程 $y'=py^2+\varepsilon qy^3$（其中 $p,q$ 为多项式且 $\varepsilon \ll 1$）周期解分支研究中起重要作用。特别地，我们的结果意味着对于满足知名泛型条件的 $p$，零解附近的周期解个数不超过 $5+\mathrm{deg} q+3\mathrm{deg}^2 p$。这是首个仅依赖 Abel 方程次数的此类界。